什么是博弈
在这一段时间里，我想把我研究博弈论的所学写在这个博客里。在我研究博弈论的时候，将主要参考以下资料:
- Game Theory for Applied Economists by Gibbons, Princeton
- A Course in Game Theory by Osborne and Rubinstein, MIT Press
- The Theory of Learning Games by Fudenberg and Levine, MIT Press
- Game Theory taught by Muhamet Yildiz, MIT OCW
在我写这些博客的时候，将会尽量做非技术性的解释，同时也会带有不太严格的数学证明或解题过程。我所提到的习题都将出自或改编自上面参考资料的习题，同时我也会考虑现实生活中的博弈论问题并在此给出理论解释。
Game Theory，中文翻译为博弈论。简而言之其研究的是在日常生活中团体或个人在参加策略对抗时选择策略的过程。最常见的博弈过程小到包括打麻将，打德州扑克，体育比赛，大到包括国际关系，战争等。在理论研究上，一场博弈包含三个主要元素：
- 博弈的玩家(Player)：指参加博弈的团体或个人，定义为一场有n个玩家的博弈玩家为 $p_1,p_2,…p_n$
- 策略集(Strategy Set): 指每一个玩家可以选择的策略的集合，定义为玩家i的策略集为 $S_i={s_{i1},s_{i2},…,s_{in}}$，其中$s_{i1}$指这个玩家可以采取的一种策略。
- 收益(Utility): 指一个玩家在其他玩家采取某种策略时，其自己采取某种策略所能的到的收益。收益是一个函数，其自变量为博弈中所有玩家所采取的策略，定义玩家i的收益为$u_i(s_1,s_2,…s_n)$，其中$s_1$指1号玩家采取的策略。
在这里需要注意的是每一个玩家的策略集里面包含的策略是不同的即不同的方式和不同的数目。每一个玩家的收益也是不同的。然而收益函数的自变量数目一定相同，因为一个玩家的收益取决于所有玩家所采取的策略，所以这个数目一定等于玩家的数量。
有了以上三个要素，就可以定义一场博弈了。
在理论上，把一场有n个玩家的博弈定义成$G={S_1,S_2,…S_n;u_1,u_2,…,u_n}$，其中S指每个玩家的策略集，u指每个玩家的收益。
下面举一个简单的例子，猜头尾。
一场游戏有两个玩家A、B。双方分别同时在纸上写下头或者尾，然后向对方展示。如果两人写的内容相同，则A得一分，若不同则B得分。
| Head | Tail | |
|---|---|---|
| Head | 1,0 | 0,1 |
| Tail | 0,1 | 1,0 |
这场博弈中，一共有两位玩家，每一位玩家有两种策略（头或者尾），其收益即为其得分。得分越高，收益越大。这样就构成了一个简单的博弈。
以上讨论了什么是博弈，也算起了一个头，在接下来的讨论中，我会把更多的内容记录下来，进一步探讨博弈论的应用。